Ejercicios Hipérbola

En la siguiente liga estan los ejercicios de Hiperbola recueltos......

http://hiperbolaunam.sitiosprodigy.mx

Asíntotas de la Hipérbola

Si de la forma canoníca de la ecuación de la hipérbola

(1)despejamos y, obtenemos
(2) que puede escribirse de la forma

Frecuentemente se desea investigar lo que ocurre en una ecuacion cuando una de las variables aumenta numericamentesin límite.

Si un punto de la hipérbola (1) se mueve a lo largo de la curva, de manera que su abscisa x aumenta numéricamente sin límite, el radical del segundo miembro de (2) se aproxime más y más a la unidad, y la ecuación tiende a la forma

(3)

Como la ecuación (3) representa las rectas

y

esto nos conduce a inferir, de la definición de asíntota, que la hipérbola es asíntota a estas dos rectas.
Para demostrar que esta deduccion es correcta tenemos.

TEOREMA. La hipérbola, tiene por asíntotas las rectas

Demostración:

Sea P(x, y) un punto cualquiera de la parte superior de la rama derecha de la hipérbola (1), como se muestra en la figura 2. la ecuacion de la recta



puede escribirse en la forma

bx -ay = 0

La distancia d de la recta (4) al punto P está dada por
(5)

Si multiplicamos numerador y denominador del segundo miembro de
(5) por bx1 + ay1, obtenemos

(6)
Pero como P está sobre la hipérbola (1) , de manara que la ecuaci6n (6) puede escribirse en la forma
(7)

Si se mueve hacia la derecha a lo largo de la curva y se aleja indefinidamente del origen, sus coordenadas, y aumentan ambas de valor sin límite, de manera que, por la ecuación (7), d decrece continuamente y se aproxima a cero. Se sigue, de acuerdo con esto, por la definición de asíntota, que la recta (4) es una asíntota de la rama derecha de la hipérbola (1).

Si P está sobre la parte inferior de la rama izquierda de la hipérbola (1) y se mueve hacia la izquierda a lo largo de la curva alejándose indefinidamente del origen, entonces sus coordenadas y aumentan de valor ambas sin límite en la dirección negativa. La ecuación (7) muestra entonces que d decrece continuamente y tiende a cero, de donde se sigue que la recta (4) es también una asíntota de la rama izquierda de la hipérbola (1)

Quedan dos casos por considerar que son, cuando está sobre la parte inferior de la rama derecha y cuando está sobre la parte superior de la rama izquierda. Empleando el mismo razonamiento que en los dos párrafos anteriores, podemos demostrar que la recta es una asíntota de ambas ramas de la hipérbola (1)

Podemos observar que toda hipérbola tiene dos asíntotas y que la definición no depende de la elección del vértice. Las asíntotas tienen propiedades importantes que nos ayudan en el trazo de la hipérbola, por ejemplo un punto de la hipérbola, entre más alejado esté del centro más cercano esta de alguna de las asíntotas, pero la hipérbola nunca interseca a una asíntota aunque puede estar tan cercano como se desee de ella.

Publicado por:

Jonathan Orihuela Soriano

Jesus Solis Carbajal

Juan Benjamin Camacho Castro

Hipérbola....

Hipérbola

Definición: Una hipérbola es el lugar geométrico, de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menos que la distancia entre los focos.

Fig. 1

Primera ecuación ordinaria de la hipérbola.

Consideremos la hipérbola de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X (fig. 1). Los focos F’ y F están entonces sobre el eje X. como el centro O es el punto medio del segmento FF’, las coordenadas de F y F’ serán (c,0) y (-c,0), respectivamente, siendo c una constante positiva. Sea P(x,y) un punto cualquiera de la hipérbola. Entonces, por la definición geométrica siguientes, que expresa que el valor absoluto de la diferencia de las distancias del punto a los focos es una cantidad constante.

(1)
En donde z es una constante positiva y 2a <>(3)

La relación (2) es verdadera cuando P está sobre la rema izquierda de la hipérbola; la relación (3) se verifica cuando P está sobre la rama derecha.

Por la ecuación de distancia entre dos puntos, tenemos

(4)

De manera que la condición geométrica (1) está expresada analíticamente por

(5)

Correspondiendo las ecuaciones (4) y (5) a las relaciones (2) y (3), respectivamente.

Para simplificar la ecuación (5), pasamos el segundo radical al segundo miembro, elevamos al cuadrado, simplificamos y agrupamos los términos semejantes. Esto nos da

(6)

Elevando al cuadrado nuevamente, obtenemos

(7)

De donde

(8)

Como 2a > 2c es a2 > c2 y a2 – c2 es un numero positivo que puede ser remplazado por el numero b2, es decir,

Y dividiendo por a2b2, se obtiene finalmente,

(9)

Podemos demostrar recíprocamente, que si P1(x1,y1) es un punto cualquiera cuyas coordenadas satisfacen la ecuación (8), entonces P1 satisface la condición geométrica (1) y, por lo tanto, está sobre la hipérbola. Luego la ecuación (8) es la ecuación de la hipérbola.

Un elemento importante de una elipse es su Excentricidad que se define como la razón c/a y se representa usualmente por la letra e

De (8) tenemos

Como c

Segunda Ecuación ordinaria de la hipérbola.

Si el centro de una hipérbola no está no esta en el origen, pero sus ejes son paralelos a los ejes coordenados. Según esto, consideraremos la elipse cuyo centro esta en el punto (h,k) y cuyo eje focal es paralelo al eje X, Sean 2a y 2b las longitudes de los ejes mayor y menor de la hiperbola, respectivamente. Si los ejes coordenados son trasladados de manera que el nuevo origen O' coincida con el centro (h,k) de la hiperbola, se sigue, que la ecuacion de la hiperbola con referencia a los nuevos ejes X' y Y' esta dada por

De la ecuacion anterior puede deducirse la ecuacion de la hiperbola referida a los ejes originales X y Y usando las ecuaciones de transformacion

x = x' +h y = y' + k

de donde

x' = x +h y' = y + k

Si sustituimos estos valores de x' y y' en la ecuacion (9) obtenemos

que es la ecuación de la hiperbola referida a los ejes originales X y Y

Elaborado por:

Juan Benjamin Camacho Castro

Jonathan Orihuela Soriano

Jesus Solis Carbajal

Asíntotas de la hipérbola

Este es un pequeño vídeo que muestra los tipos de hipérbola con sus asíntotas.

Publicado por Juan Benjamín Camacho Castro

Acá pueden checa el trabajo sobre la asíntotas de la hipérbola

Bibliografía Hiperbola

Referecias:
1.- Bracho, J., Geometría Analítica, Notas.

2.-Villarreal, César E., González Hernández, Juan ., Geometría, Publicaciones Electrónicas - Textos,Vol.8, Sociedad Matemática Mexicana, 2007

3.- Weisstein, Eric W. "Hyperbola." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Hyperbola.html

4.-"Conic Sections: Equations and Graphs" from The Wolfram Demonstrations Project

http://demonstrations.wolfram.com/ConicSectionsEquationsAndGraphs/

Contributed by: Kelly Deckelman, Kathleen Feltz, Jenn Mount

parabola

UN POCO DE ELIPSE

INTRODUCCION DE ELIPSE

Si fijamos dos puntos y tomamos una cuerda cuya distancia sea mayor ala distancia dada entre dichos puntos, y si tenzamos la cuerda haciendola girar en torno alos puntos tenemos una elipse.

Figura 1.1

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bc/ElipseAnimada.gif

Ahora daremos nombres algunos puntos donde nos facilitalran los calculos:

Donde los focos son A,B los cuales corresponden alos puntos fijados en el parrafo anterior es decir los puntos donde gira la cuerda; E,F son los puntos extremos de la elipse y se caracterizan por 2 cosas una corresponden al eje mayor ya que ambos esta sobre ellos y son los puntos llamados vertices; C,G son los puntos correspondientes al eje menor y el segmentos C,G (denotado: seg C,G) correponde a una simetria de la elipse ya que la corta por la mitad; H correponde al centro de la elipse ( en algunos libros la denotan por C o por O)y finalmente D que es un punto corresponde (vive) en la elipse que nos sera muy util para enciar algunas de sus propiedades de esta conica

Figura 1.2

Un poco antes de enunciar las propiedades de esta sería conveniente dar:

LA DEFINICION DE ELIPSE; es el lugar geométrico de los puntos D del plano tales que la suma de sus distancias a los puntos fijos A, B es una constante.

NOTA: si el lector aun no se ha percatado el eje mayor corresponde al eje X y el eje menor al ejeY.Antes de dar la ecuación canoníca de la elipse sería adecuado ver algunas de sus propiedades:
PROPIEDAD FOCAL: Si un rayo de luz pasa por un foco, al reflejarse en la elipse lo hace siguiendo una recta que pasa por el otro foco.

SIMETRIAS: La simetría es el poder cambiar los signos de la ecuación dada, y si no se altera dicha ecuación el punto se dice que es simétrico (solo daré una idea de simetría, ya que el lector la utilizara más adelante y será que él decida profundizar en ello), entonces en la figura 1.3 se muestra 4 puntos de la elipse que son simétricos, tal que tanto A, B, C, D son puntos que se representan en el plano cartesiano, es decir estos pertenecen a los reales, donde sus coordenadas son ;

A= (-x, y) B= (-x,-y) C= (x,-y) D= (x, y)

Figura 1.3

EL EJE MAYOR ES IGUAL ALA CANTIDAD CONTANTE 2a; (figura 1.2, segE, F) Como F es un punto en la elipse tenemos:

Seg (FB +FA) =2a (1)

y además seg ( FA = HF + HA ) y seg ( BF = HF – HB ) y sustituyendo en (1) tenemos

NOTA: El lector dará por hecho cuando ve FB no referimos a un segmento es decir “seg FB”.

HF + HA + HF –HB =2a por lo tanto EF = 2A.

LOS VERTICES E Y F, EQUIDISTAN DE LOS FOCOS: es decir BF = a – c y EA = a – c entonces BF = EA.

LOS EJES SE CORTAN EN SU PUNTO MEDIO: (figura 1.2) como tenemos de lo anterior h es el punto medio de FE también es un punto medio CG, porque siendo C y G puntos de la elipse se tiene CA = CB = a luego AB es la mediatriz CG y por la tanto OB = OB

Ahora definiremos la ecuación canoníca de elipse:

Apartir de la figura 1.4 podemos definir la distancia de un punto aun foco, dondelas coordenadas de los focos son F = (c,0) F´= (-c,0) y p es un punto que satisface la ecuacion dela elipse, es decir P = (x,y) y tenemos la formula:

Figura 1.4

(1)

donde podemos sustituir en (1) los valores que hemos dado anteriormente entonces:

(2)

para facilitar los calculos podemos restar la segunda raiz, es decir pasar del otro lado y para poder eliminar las raices elvamos al cuadrado ambos mienbros de la ecuacion apartir de (2) desarrolando esto tenemos:

(3)

a continuacion simplificamos la ecuacion y dividimos entre 4:

(4)

elevemos nuevamente al cuadrado a (4)

(5)

de donde (5) la podemos reducir en:

y finalmente podemos dividir por eltermino que no tiene x e y esta es para obtener un 1 en la ecuacion asi mismo tenemos que:

y asi obtenemos la ECUACION CANONICA DE LA ELIPSE:

Fuentes: Geometria analitica (Ana Irene Ramirez)

Geometria Anatitica (Lehmann)

Geometria Analitica (Middlesmiss)

http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/La_Elipse.html