Definición: Una hipérbola es el lugar geométrico, de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menos que la distancia entre los focos.
Primera ecuación ordinaria de la hipérbola.
Consideremos la hipérbola de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X (fig. 1). Los focos F’ y F están entonces sobre el eje X. como el centro O es el punto medio del segmento FF’, las coordenadas de F y F’ serán (c,0) y (-c,0), respectivamente, siendo c una constante positiva. Sea P(x,y) un punto cualquiera de la hipérbola. Entonces, por la definición geométrica siguientes, que expresa que el valor absoluto de la diferencia de las distancias del punto a los focos es una cantidad constante.
(1)
En donde z es una constante positiva y 2a <>(3)
La relación (2) es verdadera cuando P está sobre la rema izquierda de la hipérbola; la relación (3) se verifica cuando P está sobre la rama derecha.
Por la ecuación de distancia entre dos puntos, tenemos
(4)
De manera que la condición geométrica (1) está expresada analíticamente por
(5)
Correspondiendo las ecuaciones (4) y (5) a las relaciones (2) y (3), respectivamente.
Para simplificar la ecuación (5), pasamos el segundo radical al segundo miembro, elevamos al cuadrado, simplificamos y agrupamos los términos semejantes. Esto nos da
(6)
Elevando al cuadrado nuevamente, obtenemos
(7)
De donde
(8)
Como 2a > 2c es a2 > c2 y a2 – c2 es un numero positivo que puede ser remplazado por el numero b2, es decir,
Y dividiendo por a2b2, se obtiene finalmente,
(9)
Podemos demostrar recíprocamente, que si P1(x1,y1) es un punto cualquiera cuyas coordenadas satisfacen la ecuación (8), entonces P1 satisface la condición geométrica (1) y, por lo tanto, está sobre la hipérbola. Luego la ecuación (8) es la ecuación de la hipérbola.
Un elemento importante de una elipse es su Excentricidad que se define como la razón c/a y se representa usualmente por la letra e
De (8) tenemos
Si el centro de una hipérbola no está no esta en el origen, pero sus ejes son paralelos a los ejes coordenados. Según esto, consideraremos la elipse cuyo centro esta en el punto (h,k) y cuyo eje focal es paralelo al eje X, Sean 2a y 2b las longitudes de los ejes mayor y menor de la hiperbola, respectivamente. Si los ejes coordenados son trasladados de manera que el nuevo origen O' coincida con el centro (h,k) de la hiperbola, se sigue, que la ecuacion de la hiperbola con referencia a los nuevos ejes X' y Y' esta dada por
De la ecuacion anterior puede deducirse la ecuacion de la hiperbola referida a los ejes originales X y Y usando las ecuaciones de transformacion
x = x' +h y = y' + k
de donde
x' = x +h y' = y + k
Si sustituimos estos valores de x' y y' en la ecuacion (9) obtenemos
que es la ecuación de la hiperbola referida a los ejes originales X y Y
Elaborado por:
Juan Benjamin Camacho Castro
Jonathan Orihuela Soriano
Jesus Solis Carbajal
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