Asíntotas de la Hipérbola

Si de la forma canoníca de la ecuación de la hipérbola

(1)despejamos y, obtenemos
(2) que puede escribirse de la forma

Frecuentemente se desea investigar lo que ocurre en una ecuacion cuando una de las variables aumenta numericamentesin límite.

Si un punto de la hipérbola (1) se mueve a lo largo de la curva, de manera que su abscisa x aumenta numéricamente sin límite, el radical del segundo miembro de (2) se aproxime más y más a la unidad, y la ecuación tiende a la forma

(3)

Como la ecuación (3) representa las rectas

y

esto nos conduce a inferir, de la definición de asíntota, que la hipérbola es asíntota a estas dos rectas.
Para demostrar que esta deduccion es correcta tenemos.

TEOREMA. La hipérbola, tiene por asíntotas las rectas

Demostración:

Sea P(x, y) un punto cualquiera de la parte superior de la rama derecha de la hipérbola (1), como se muestra en la figura 2. la ecuacion de la recta



puede escribirse en la forma

bx -ay = 0

La distancia d de la recta (4) al punto P está dada por
(5)

Si multiplicamos numerador y denominador del segundo miembro de
(5) por bx1 + ay1, obtenemos

(6)
Pero como P está sobre la hipérbola (1) , de manara que la ecuaci6n (6) puede escribirse en la forma
(7)

Si se mueve hacia la derecha a lo largo de la curva y se aleja indefinidamente del origen, sus coordenadas, y aumentan ambas de valor sin límite, de manera que, por la ecuación (7), d decrece continuamente y se aproxima a cero. Se sigue, de acuerdo con esto, por la definición de asíntota, que la recta (4) es una asíntota de la rama derecha de la hipérbola (1).

Si P está sobre la parte inferior de la rama izquierda de la hipérbola (1) y se mueve hacia la izquierda a lo largo de la curva alejándose indefinidamente del origen, entonces sus coordenadas y aumentan de valor ambas sin límite en la dirección negativa. La ecuación (7) muestra entonces que d decrece continuamente y tiende a cero, de donde se sigue que la recta (4) es también una asíntota de la rama izquierda de la hipérbola (1)

Quedan dos casos por considerar que son, cuando está sobre la parte inferior de la rama derecha y cuando está sobre la parte superior de la rama izquierda. Empleando el mismo razonamiento que en los dos párrafos anteriores, podemos demostrar que la recta es una asíntota de ambas ramas de la hipérbola (1)

Podemos observar que toda hipérbola tiene dos asíntotas y que la definición no depende de la elección del vértice. Las asíntotas tienen propiedades importantes que nos ayudan en el trazo de la hipérbola, por ejemplo un punto de la hipérbola, entre más alejado esté del centro más cercano esta de alguna de las asíntotas, pero la hipérbola nunca interseca a una asíntota aunque puede estar tan cercano como se desee de ella.

Publicado por:

Jonathan Orihuela Soriano

Jesus Solis Carbajal

Juan Benjamin Camacho Castro