Cónicas: UN POCO DE ELIPSE

INTRODUCCION DE ELIPSE

Si fijamos dos puntos y tomamos una cuerda cuya distancia sea mayor ala distancia dada entre dichos puntos, y si tenzamos la cuerda haciendola girar en torno alos puntos tenemos una elipse.

Figura 1.1

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bc/ElipseAnimada.gif

Ahora daremos nombres algunos puntos donde nos facilitalran los calculos:

Donde los focos son A,B los cuales corresponden alos puntos fijados en el parrafo anterior es decir los puntos donde gira la cuerda; E,F son los puntos extremos de la elipse y se caracterizan por 2 cosas una corresponden al eje mayor ya que ambos esta sobre ellos y son los puntos llamados vertices; C,G son los puntos correspondientes al eje menor y el segmentos C,G (denotado: seg C,G) correponde a una simetria de la elipse ya que la corta por la mitad; H correponde al centro de la elipse ( en algunos libros la denotan por C o por O)y finalmente D que es un punto corresponde (vive) en la elipse que nos sera muy util para enciar algunas de sus propiedades de esta conica

Figura 1.2

Un poco antes de enunciar las propiedades de esta sería conveniente dar:

LA DEFINICION DE ELIPSE; es el lugar geométrico de los puntos D del plano tales que la suma de sus distancias a los puntos fijos A, B es una constante.

NOTA: si el lector aun no se ha percatado el eje mayor corresponde al eje X y el eje menor al ejeY.Antes de dar la ecuación canoníca de la elipse sería adecuado ver algunas de sus propiedades:
PROPIEDAD FOCAL: Si un rayo de luz pasa por un foco, al reflejarse en la elipse lo hace siguiendo una recta que pasa por el otro foco.

SIMETRIAS: La simetría es el poder cambiar los signos de la ecuación dada, y si no se altera dicha ecuación el punto se dice que es simétrico (solo daré una idea de simetría, ya que el lector la utilizara más adelante y será que él decida profundizar en ello), entonces en la figura 1.3 se muestra 4 puntos de la elipse que son simétricos, tal que tanto A, B, C, D son puntos que se representan en el plano cartesiano, es decir estos pertenecen a los reales, donde sus coordenadas son ;

A= (-x, y) B= (-x,-y) C= (x,-y) D= (x, y)

Figura 1.3

EL EJE MAYOR ES IGUAL ALA CANTIDAD CONTANTE 2a; (figura 1.2, segE, F) Como F es un punto en la elipse tenemos:

Seg (FB +FA) =2a (1)

y además seg ( FA = HF + HA ) y seg ( BF = HF – HB ) y sustituyendo en (1) tenemos

NOTA: El lector dará por hecho cuando ve FB no referimos a un segmento es decir “seg FB”.

HF + HA + HF –HB =2a por lo tanto EF = 2A.

LOS VERTICES E Y F, EQUIDISTAN DE LOS FOCOS: es decir BF = a – c y EA = a – c entonces BF = EA.

LOS EJES SE CORTAN EN SU PUNTO MEDIO: (figura 1.2) como tenemos de lo anterior h es el punto medio de FE también es un punto medio CG, porque siendo C y G puntos de la elipse se tiene CA = CB = a luego AB es la mediatriz CG y por la tanto OB = OB

Ahora definiremos la ecuación canoníca de elipse:

Apartir de la figura 1.4 podemos definir la distancia de un punto aun foco, dondelas coordenadas de los focos son F = (c,0) F´= (-c,0) y p es un punto que satisface la ecuacion dela elipse, es decir P = (x,y) y tenemos la formula:

Figura 1.4

(1)

donde podemos sustituir en (1) los valores que hemos dado anteriormente entonces:

(2)

para facilitar los calculos podemos restar la segunda raiz, es decir pasar del otro lado y para poder eliminar las raices elvamos al cuadrado ambos mienbros de la ecuacion apartir de (2) desarrolando esto tenemos:

(3)